Geometri adalah salah satu cabang ilmu matematika yang barkaitan dengan bentuk, ukuran, posisi relatif gambar, dan juga sifat ruang. Sedangkan kata Geometri sendiri berasal dari kata Geo- yang berati Bumi, dan -Metron yang berarti Ukuran/Pengukuran.
Geometri pada matematika termasuk dalam ilmu deduktif. Nah kali ini kita akan mengulas tentang Geometri Insidensi dan Teorema-teoremanya, meskipun ada juga Geometri Eucllid, dan Geometri Netral (Non Euclied) yang saling berkaitan.
Sebelum melanjutkan ke Geometri Insidensi, kita perlu tahu bahwa setiap geometri itu mengandung :
1. Unsur-unsur tak terdefinisi
2. Sistem aksioma yang mengkaitkan unsur-unsur tak terdefinisi itu
3. Definisi-definisi
4. Teorema-teorema yang dijabarkan dari butir (1), (2), dan (3).
Adapun Geometri Insidensi bisa juga kita katakan sebagai dasar dari Geometri Euclides (Euclid), Sedangkan menurut David Nilbert, Geometri Euclides itu didasarkan pada 5 kelompok aksioma, yaitu sebagai berikut:
a. Kelompok aksioma insidensi
b. Kelompok aksioma urutan
c. Kelompok aksioma konkruensi
d. Aksioma kesejajaran Eucliedes
e. Aksioma kekontinuan
Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa Geometri Euclides adalah sebuah geometri insidensi yang dilengkapi dengan 4 kelompok aksioama lain.
Baca Juga : Pengertian Aksioma, Definisi, Postulat, Teorema, Lemma, Corollary, dan Konjektur
1. Titik
2. Himpunan titik-titik yang dinamakan garis
3. Himpunan titik-titik yang dinamakan bidang
Dari tiga unsur diatas dikaitkan satu sama lain akan membentuk sistem aksioma yang disebut Aksioma Insidensi.
Aksioma Insidensi ada 6, yaitu :
1. Garis adalah himpunan titik-titik yang memuat paling sedikit dua titik
Ilustrasinya kita ambil persamaan garis lurus, y = 2x -1 dimana 2 adalah gradien. Masih ingat gradien kan sob, Gradien adalah nilai kemiringan dari suatu garis, sering dilambangkan dengan huruf m.
Dalam rumus m = perubahan nilai y/perubahan nilai x = ∆y / ∆x = perbandingan antara jarak tegak dan jarak mendatar.
Persamaan garis lurus y = 2x - 1
Jika x = 0 1/2 1 3
Maka y = -1 0 1 5
Nah, dengan adanya gradien bernilai 2 itulah bisa dikatakan bahwa gradien adalah bukti adanya garis lurus, kumpulan titik lurus.
2. Dua titik yang berbeda/ berlainan termuat dalam tepat satu garis.
3. Bidang adalah himpunan titik-titik yang memuat paling sedikit 3 (tiga) titik yang tidak berada dalam satu garis (dengan kata lain ketiga titik tidak boleh satu garis).
Ilustrasinya banyangkan saja bidang segitiga yang terdiri dari 3 titik ABC, sedangkan jika 3 titik itu dalam satu garis maka sama saja seperti garis lurus, bukan sebuah bidang.
4. Tiga titik berlainan yang tidak dalam satu garis termuat dalam tepat satu bidang.
Ilustrasinya sama dengan poin ketiga, ambil saja satu segitiga, dimana 3 titik yang tidak segaris pasti akan membentuk satu bidang segitiga.
5. Jika suatu bidang memuat dua titik berlainan/berbeda dari suatu garis, maka bidang itu memuat setiap titik garis tersebut.
Mudahnya seperti ini, misal ada garis AB dalam dalam suatu bidang, maka secara otomatis titik-titik antara titik A dan titk B yang membentuk garis lurus tersebut pasti termuat dalam bidang tersebut. Ini juga termasuk bukti bahwa benda datar ≠ rata.
6. Jika dua bidang mempunyai satu titik persekutuan, maka dua bidang tersebut mempunyai titik persekutuan kedua yang lain.
Hal ini adalah bukti dari perpontongan dua bidang yang menghasilkan suatu garis. Seperti pada gambar ilustrasi dibawah ini dimana bidang V berpotongan dengan bidang W dan membentuk garis G.
Pada pembahasan Geometri Insidensi ini sebenarnya ada 3 poin utama yang perlu dipelajari, yaitu tentang ke 6 aksioma diatas, kemudian definisi yang tercipta setelah pembahasan, dan pembuktian dari teorema-teorema geometri insidensi.
Pembuktian teorema-teorema ini harus dilandasi dari ke 6 aksioma diatas, definisi yang tercipta, dan juga teorema sebelumnya. Mungkin untuk teorema ada penomeranya, seperti teorema 1 sampai teorema 10.
Masalahnya definisi-definisi tercipta dari alur pembuktian mulai dari aksioma dan teorema awal hingga teorema akhir, dan yang pasti tidak ada penomerannya, jadi memang harus di ingat-ingat secara umum. Misalnya saja setelah pembahasan 6 aksioma insidensi diatas kita bisa mendapatkan definisi dibawah ini.
Definisi:Oleh karena itu, beberapa definisi akan kita bahas sebagai selingan saat pembahasan Teorema, sedangkan teorema akan kita bahas secara terpisah dari artikel ini satu demi satu dengan urutan artikel seperti dibawah ini (dilengkapi link nantinya).
Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan bidang yang memenuhi sistem aksioma (1) sampai aksioma (6) disebut suatu Geometri Insidensi.
Teorema 1 Geometri Insidensi
Teorema 2 Geometri Insidensi
Teorema 3 Geometri Insidensi
Teorema 4 Geometri Insidensi
Teorema 5 Geometri Insidensi
Teorema 6 Geometri Insidensi
Teorema 7 Geometri Insidensi
Teorema 8 Geometri Insidensi
Teorema 9 Geometri Insidensi
Teorema 10 Geometri Insidensi
Nah untuk sekarang ini saja yang bisa MIM sampaikan, dan sampai berjumpa lagi di artikel selanjutnya. Tetap semangat dan jangan lupa bahagia ya.
No comments:
Post a Comment