Pembuktian Teorema 1 Geometri Insidensi

Teorema 1 dari Geometri Insidensi mengatakan, bahwa dua garis yang berbeda bersekutu pada paling banyak satu titik. Pada kesempatan ini kita akan membuktikan Teorema pertama dari Geometri Insidensi ini.

Pertama, kita menulis apa yang diketahui dari teorema diatas,

Diketahui :

1. Dua garis, sebutlah garis k dan l, dengan k ≠ l.
2. k dan l berpotongan

Akan dibuktikan :

Perpotongan k dan l paling banyak satu titik.

Bukti :

Pembuktiannya dengan cara kontraposisi, salah satu bukti tidak langsung, yang memang sebenarnya tidak ada aturan pasti untuk caranya,

Ingat juga, kedua pernyataan yang berkontraposisi pasti ekuivalen, p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p. Sedangkan dari teorema diatas kita juga bisa menulis jumlah perpotongannya sebagai ~n ≤ 1 dan n > 1.

Andaikan k dan l berpotongan lebih dari satu titik (simbol n > 1), sebutlah perpotongannya di dua titik, yaitu titik A dan B dengan A ≠ B.

Titik A ≠ B, menurut Aksioma 2, termuat tepat satu garis.

A titik potong berarti A ∈ k dan A ∈ l
B titik potong berarti B ∈ k dan B ∈ l

A ≠ B, menurut Aksioma 2
A dan B termuat tepat satu garis
Akibatnya garis k = l

Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui sehingga pengandaian salah.
Jadi, haruslah perpotongan k dan l paling banyak satu titik.

Baca Juga : Daftar Pembuktian Teorema Geometri Insidensi lainnya disini

Tambahan Bukti :

Ada 3 persamaan linier (garis lurus),

y = 2x - 1   ... (1)
y = -x + 5   ... (2)
y = 2x + 3  ... (3)

Pers (1) dan (2) adalah persamaan berbeda dan berpotongan. Sedangkan persamaan (1) dan (3) juga berbeda tetapi tidak berpotongan paling banyak 1 titik.

Teorema pertama diatas tidak implikasi, tapi bisa diungkapkan dalam bentuk implikasi.

Kalimat implikasi teorema pertama :

Jika garis k dan l berpotongan, maka perpotongannya paling banyak satu titik (dititik p).

Simbol implikasi p ⇒ q. Jadi terkadang kita dapat mengetahui p dari q.

Nah setelah pembuktian teorema 1 geometri insidensi diatas kita bisa menemukan definisi berikut ini,

Definisi :

Sebuah garis yang memuat titik A dan titik B yang berbeda disebut garis AB.

Untuk tambahan saja/penjelasan/pengingat,

Sobat ingat tidak dengan namanya vektor/sinar?, misal garis AB, maka vektor/sinar AB disimbolkan dengan huruh AB dengan tanda arah diatasnya, yang memang menunjukkan arah. Sayangnya simbol gak bisa ditulis di blog, jadi banyangkan saja ya sob, saya yakin pasti juga udah ngerti.

Coba perhatikan penulisan dibawah ini,

y = 2x + 1                    Garis
y = 2x + 1,  -1 ≤ x ≤ 1 Garis
y = 2x + 1,  x = 3        Titik
y = 2x + 1,  x ≥ 2        Vektor

Pada penulisan pertama dengan y = 2x + 1 tanpa adanya ketentuan, secara umum membentuk sebuah garis lurus tanpa batas, untuk penulisan kedua ada batasnya juga disebut sebagai garis, yang ketiga disebut titik, sedangkan yang ke empat disebut sebagai vektor/sinar, karena merupakan garis (besaran) yang memiliki arah.

Sebenarnya lebih enak kalau bisa digambar ya sob, namun lagi malas buat gambar, hehe. Mungkin jika sobat ingin saya menggambarnya sobat bisa sampaikan dikolom komentar.

Baca Juga : Pembuktian Teorema 2 Geometri Insidensi

Definisi :

Titik-titik A1, A2, A3, ..., An disebut segaris (kolinier) jika dan hanya jika (apabila) ada suatu garis yang memuat semua titik tersebut.

Misalkan ada 6 titik, 6 titik tersebut disebut kolinier jika ada suatu garis yang memuat semua titik tersebut.