Pembuktian Teorema 3 Geometri Insidensi

Teorema 3 dari Geometri Insidensi mengatakan, bahwa suatu garis dan suatu titik yang tidak pada garis itu termuat dalam tepat satu bidang. Pada kesempatan ini kita akan membuktikan Teorema ketiga dari Geometri Insidensi ini.

Pertama, kita menulis apa yang diketahui dari teorema diatas,

Diketahui :

Sebelumnya kita bisa ilustrasikan teorema seperti gambar dibawah ini,

Jika titik A tidak pada garis k dengan A ∉ k, maka A dan k termuat tepat satu bidang. Dari pengandaian tersebut, kita dapat menulis yang diketahui sebagai berikut,

1. Sebuah titik, sebutlah titik A
2. Sebuah garis, sebutlah garis k dengan A ∉ k

Akan dibuktikan :

A dan k termuat tepat satu bidang

Bukti :

Garis k   ...diket

Pilih/tetapkan dua titik sembarang pada k, sebutlah titik B dan C dengan B ≠ C ...Aksio.2

Titik A ∉ k   ...diket
Berarti A ≠ B ≠ C dan A, B, C tidak segaris   ...bukti Teo.2

A ≠ B ≠ C dan A, B, C tidak segaris berarti A, B, C termuat tepat satu bidang   ...Aksio.4

Karena titik B dan C dipilih sembarang, maka titik A dan garis k termuat tepat satu bidang, terbukti.

Baca Juga : Daftar Pembuktian Teorema Geometri Insidensi lainnya disini

Nah setelah pembuktian teorema ketiga adapun difinisi yang perlu kita ketahui,

Definisi :

1. Andaikan titik A tidak termuat dalam garis g (A ∉ g), satu-satunya bidang yang memuat g dan A dinyatakan gA

2. Andaikan titik-titik A, B, dan C berlainan dan tidak kolinier, maka satu-satunya bidang yang memuat A, B, dan C dinyatakan sebagai bidang ABC

Cat : gA tidak didefinisikan apabila A dalam g. Begitu juga ABC tidak didefinisikan apabila A, B, C tidak berlainan atau tidak kolinier

Definisi :

Dua garis l dan m dinamakan sejajar (ditulis l // m) apabila :

a. l dan m termuat dalam satu bidang
b. l dan m tidak memiliki titik sekutu (titik temu/potong)

Sebenarnya kita bisa membuktikan kesejajaran dari definisi kedua menggunakan Teorema 3, dan kita juga bisa menganggapnya sebagai Teorema Akibat (Corollary) dari Teorema 3.

Masih ingat apa itu Corollary?. Corollary (korolari) bisa dikatakan sebagai teorema yang didapatkan langsung dari teorema yang telah dibuktikan. Mungkin sobat juga tertarik untuk membaca Pengertian Aksioma, Definisi, Postulat, Teorema, Lemma, Corollary, dan Konjektur.

Misalnya kita bisa munulisnya seperti ini,

"Jika l // m maka l dan m termuat tepat satu bidang."

Diket : garis l dan m dengan l // m

Adib : l dan m termuat tepat satu bidang

Bukti :

Misal sebutlah garis l

Pilih titik p sembarang

................. dst.

Nah untuk kelajutannya coba teruskan sendiri ya sob, hehe (pakai teorema ketiga)

Itulah pembuktian untuk teorema 3 dari Geometri Insidensi, kita akan melanjutkan pembuktian Teorema 4 pada Geometri Insidensi pada artikel berikutnya.