Pernyataan Logika Matematika

Pada kesempatan ini kita akan membahas tentang logika matematika. Logika matematika adalah salah satu materi yang dibahas dalam matematika yang mepelajari sebuah pernyataan-pernyataan. Langsung saja kita bahas sebagi berikut.

1. Pernyataan atau kalimat

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Ada dua jenis pernyataan matematika, yaitu:

Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.

Contoh :

a) 5 x 5 = 25 (pernyataan tertutup yang benar)

b) 5 + 5 = 15 (pernyataan tertutup yang salah)

Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.

Contoh :

a) 6 + n adalah bilangan prima

b) Kota A adalah ibukota negara indonesia

c) x + 3 = 7, x ϵ R . bernilai benar jika x bernilai 4. Jika nilai x bukan 4, maka kalimat bernilai Salah

d) 3 + 3x = 9, x ϵ R. bernilai benar jika x bernilai 2. Jika nilai x bukan 2, maka kalimat bernilai Salah

2. Ingkaran Pernyataan atau negasi

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah "Tidak benar bahwa …" di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan dari p adalah ~ p.

Contoh :

Misalkan pernyataan p : Andi mendapatkan sepeda baru.

Ingkaran penyataan p adalah ~ p : Tidak benar bahwa Andi mendapatkan sepeda baru.

Tabel kebenaran dari ingkaran:

P	~P
B	S
S	B

3. Pernyataan Majemuk

a. Konjungsi

Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika "dan" sehingga membentuk pernyataan majemuk "p dan q" yang disebut konjungsi. Konjungsi "p dan q" dilambangkan dengan "p ∧ q".

Tabel kebenaran logika matematika konjungsi :

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

b. Disjungsi

Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika "atau" sehingga membentuk sebuah pernyataan majemuk "p atau q" yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan "p ∨ q".

Tabel kebenaran logika matematika disjungsi :

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c. Implikasi

Implikasi "jika p maka q" dilambangkan dengan "p → q".

Tabel kebenaran logika matematika implikasi :

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

d. Biimplikasi

Biimplikasi "p jika dan hanya jika q" dilambangkan dengan "p ↔ q".

Tabel kebenaran logika matematika biimplikasi :

p	q	p ↔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

4. Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk

Dalam ekuivalensi terdapat rumus-rumusnya, yaitu sebagai berikut ini:

a. ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q

b. ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q

c. p ∧ (q ∨ r) =  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

d. p ∨ (q ∧ r) =  (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

e. p → q = ~p ∨ q

f. ~ (p → q) = p ∧ ~q

g. p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p) = (~p ∨q) ∧ (~q ∨ p)

h. ~ (p ↔ q) = (p ∧~q) ∨ (q ∧ ~p)

5. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

Jika diketahui implikasi p → q, maka:

Konversnya adalah q → p

Inversnya adalah ~p → ~q

Kontraposisinya adalah ~q → ~p

6. Pernyataan berkuantor dan ingkarannya

Pernyataan berkuator ditandai dengan kata "ada" yang dilambangkan dengan "∃" dan kata "semua" atau "untuk setiap" yang dilambangkan dengan "∀"

Contoh:

Ingkaran dari "semua ikan bernafas dengan insang" adalah "ada ikan bernafas tidak dengan insang"

7. Penarikan Kesimpulan

Didalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah, yaitu ada 3 jenis sebagai berikut ini:

a. Penarikan Modus Ponen

Pernyataan 1: p → q (benar)

Pernyataan 2: p (benar)

Kesimpulan: q (benar)

b. Penarikan Modus Tollens

Pernyataan 1: p → q (benar)

Pernyataan 2: ~q (benar)

Kesimpulan: ~p (benar)

c. Penarikan Modus Silogisme

Pernyataan 1: p → q (benar)

Pernyataan 2: q → r (benar)

Kesimpulan: p → r (benar)

Baca Juga: Aksioma, Definisi, Postulat, Teorema, Lemma, Corollary, dan Konjektur.

Demikianlah pembahasan tentang pernyataan logika matematika, semoga bisa membantu dan bermanfaat.